nauki ścisłe
dodano: 2016-09-22
Związane, splecione

Co to jest węzeł? Intuicyjnie rozumiemy to pojęcie, ale matematyczne ujęcie takiej swobody nie dopuszcza. Zanim zaczniemy jednak cokolwiek wiązać i plątać zastanówmy się, ilu co najmniej wymiarów przestrzennych do tej czynności potrzeba. Rozważmy tylko przestrzeń euklidesową. Punkt na pewno dopada, bo to określenie odnosi się do elementów przestrzeni (euklidesowej). Jednowymiarowa przestrzeń to inaczej prosta euklidesowa. Możemy poruszać się wzdłuż niej jako punkt, ale na tym koniec rozrywek. W jednowymiarowej przestrzeni euklidesowej nawet spacer jest nudny.

Dwuwymiarowa p.e. to większa swoboda, na tyle duża że pozwala na stworzenie węzła trywialnego. To konstrukcja równoważna z okręgiem. Wobec tego płaszczak w swoim dwuwymiarowym świecie robiąc węzeł podejmuje życiową decyzję: zostać wewnątrz odciętym na zawsze, czy siedzieć na zewnątrz nigdy nie dowiadując się, jak wygląda węzeł trywialny „od środka”.

 

   Trzy wymiary to już ogromna swoboda. Zmieścimy w nich obok trywialnego węzły nietrywiane. Oto najprostszy z nich, trójlistnik. Zauważmy że ma on swoje lustrzane odbicie, wobec czego może być lewy lub prawy. Przy okazji trójlistnik też jest najprostszym węzłem torusowym czyli takim, który powstaje przez owinięcie sznurka wokół torusa.

 A dalej jest coraz straszniej bo już czają się na nas węzły poskromione oraz dzikie, pierwsze, torusowe… a do tego sploty. Czyli żartobliwie - stowarzyszenia węzłów. Mogą być one trywialne jak splot widoczny na lewym rysunku lub nietrywialne jak splot Hopfa narysowany po prawej.Bardzo praktycznym splotem nietrywialnym jest pospolity łańcuch. A bardzo ładnym jest splot nazwany pierścieniami boromejskimi.

 

Spróbujmy siły naszej wyobraźni w starciu ze splotami. Do pierwszego starcia przygotować należy odcinek grubego sznurka długości około 20 cm oraz kółko o średnicy 5 cm. Może być z karnisza. Sznurek składamy na pół i wplatamy w pierścień tak, jak pokazane jest to na zdjęciu (1). Można to zrobić w następującej kolejności: owijamy pierścień końcem ze złożeniem, po czym przewlekamy przez tak powstałe oczko wolne końcówki sznura.
Chwytamy teraz jedną dłonią za te końcówki (2). Drugą spróbujmy uwolnić pierścień z pętli. Dosyć łatwo znaleźć rozwiązanie tego zadania, nawet nie przyglądając się wcześniej pozostałym ilustracjom.
Naturalnym odruchem przy pierwszej próbie jest odciągnięcie pętelki zaciskającej wychodzące na zewnątrz końce. Ponieważ pierścień ma małą średnicę, łatwo zauważyć że pętelka może się z niego zsunąć (3). Teraz pozostało już tylko ją rozprostować, by rozłączyć oba – no co? – węzły! Jednym z nich jest pierścień, drugi to my trzymający sznurek (4).
Zadanie było łatwe, ale zadajmy je znajomym wplatając nie pierścień, a ucho nożyczek. Naturalnie sznurka nie wolno nimi przecinać. Złożony kształt skutecznie zwodzi wyobraźnię. Tym większe jest zaskoczenie, gdy połączenie uda się rozpleść.  

 

To był, jak się domyślimy, splot trywialny. Zmierzmy się teraz ze splotem Hopfa, ale w nieco atrakcyjniejszej wersji. To zresztą stara łamigłówka logiczna. Warto ją przypomnieć by pokazać, jak zwodniczy bywa stereotypowy ogląd problemu. Pierwszy rzut oka podsuwa przypuszczenie że zadanie jest niewykonalne, a rozwiązanie okazuje się zaskakujące i zabawne.

Wykorzystamy ten sam pierścień, co poprzednio. Ponadto potrzebne będzie 40 cm linki. Ze sztywnej tekturki wycinamy taki kształt jak widoczny obok (1) z dwoma zastrzeżeniami: 1.środkowy otwór musi być dosyć duży ale nie na tyle by mógł się w nim zmieścić pierścień, 2. Przez boczne otworki muszą się dać przewlec końce sznurka.
Zapętlamy w środkowym otworze sznurek tak, jak widać to na zdjęciu (2). Ważne, by „poprzeczka” sznurkowego ucha wypadła z przodu tekturki. Prawą końcówkę przewlekamy  przez mały otworek i zawiązujemy z tyłu duży supeł, by się nie wyśliznęła. Z lewą postępujemy podobnie, ale najpierw nawlekamy na nią pierścień. 

Zadanie brzmi następująco: należy przeprowadzić pierścień z lewej pętli na prawą. Pozwolę Czytelnikom zmierzyć się samodzielnie z tym splotem. Niecierpliwym podpowiem tylko – co jest widoczne zresztą na zdjęciu – że kluczem do rozwiązania jest wyciągnięcie „poprzeczki” na przód dużego otworu (3) przez przewinięcie jej od tyłu (!) tekturki.
To, co w potocznym języku nazywamy węzłem, matematyk zwykle określi jako splot. Zresztą, kto za matematykiem trafi?

 

 Więcej takich, bardzo emocjonujących zaskoczeń, znajdziemy w najnowszej książce z serii „Laboratorium w szufladzie. Matematyka” autorstwa dr. Łukasza Badowskiego i Zasława Adamaszka wydanej przez Wydawnictwo Naukowe PWN.

 

Autor: Zasław Adamaszek

Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
09/2017
10/2017
Kalendarium
Październik
22
W 1964 r. kanadyjski komitet parlamentarny wybrał, spośród 2 600 zgłoszonych na konkurs propozycji, obecny wzór flagi Kanady.
Warto przeczytać
Mechanika kwantowa jest piękną, precyzyjną i logiczną konstrukcją matematyczną, doskonale opisująca Naturę. Z tym że właściwie nikt nie wie, jak należy ją rozumieć.

WSPÓŁPRACUJEMY
Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

dodano: 2016-09-22
Związane, splecione

Co to jest węzeł? Intuicyjnie rozumiemy to pojęcie, ale matematyczne ujęcie takiej swobody nie dopuszcza. Zanim zaczniemy jednak cokolwiek wiązać i plątać zastanówmy się, ilu co najmniej wymiarów przestrzennych do tej czynności potrzeba. Rozważmy tylko przestrzeń euklidesową. Punkt na pewno dopada, bo to określenie odnosi się do elementów przestrzeni (euklidesowej). Jednowymiarowa przestrzeń to inaczej prosta euklidesowa. Możemy poruszać się wzdłuż niej jako punkt, ale na tym koniec rozrywek. W jednowymiarowej przestrzeni euklidesowej nawet spacer jest nudny.

Dwuwymiarowa p.e. to większa swoboda, na tyle duża że pozwala na stworzenie węzła trywialnego. To konstrukcja równoważna z okręgiem. Wobec tego płaszczak w swoim dwuwymiarowym świecie robiąc węzeł podejmuje życiową decyzję: zostać wewnątrz odciętym na zawsze, czy siedzieć na zewnątrz nigdy nie dowiadując się, jak wygląda węzeł trywialny „od środka”.

 

   Trzy wymiary to już ogromna swoboda. Zmieścimy w nich obok trywialnego węzły nietrywiane. Oto najprostszy z nich, trójlistnik. Zauważmy że ma on swoje lustrzane odbicie, wobec czego może być lewy lub prawy. Przy okazji trójlistnik też jest najprostszym węzłem torusowym czyli takim, który powstaje przez owinięcie sznurka wokół torusa.

 A dalej jest coraz straszniej bo już czają się na nas węzły poskromione oraz dzikie, pierwsze, torusowe… a do tego sploty. Czyli żartobliwie - stowarzyszenia węzłów. Mogą być one trywialne jak splot widoczny na lewym rysunku lub nietrywialne jak splot Hopfa narysowany po prawej.Bardzo praktycznym splotem nietrywialnym jest pospolity łańcuch. A bardzo ładnym jest splot nazwany pierścieniami boromejskimi.

 

Spróbujmy siły naszej wyobraźni w starciu ze splotami. Do pierwszego starcia przygotować należy odcinek grubego sznurka długości około 20 cm oraz kółko o średnicy 5 cm. Może być z karnisza. Sznurek składamy na pół i wplatamy w pierścień tak, jak pokazane jest to na zdjęciu (1). Można to zrobić w następującej kolejności: owijamy pierścień końcem ze złożeniem, po czym przewlekamy przez tak powstałe oczko wolne końcówki sznura.
Chwytamy teraz jedną dłonią za te końcówki (2). Drugą spróbujmy uwolnić pierścień z pętli. Dosyć łatwo znaleźć rozwiązanie tego zadania, nawet nie przyglądając się wcześniej pozostałym ilustracjom.
Naturalnym odruchem przy pierwszej próbie jest odciągnięcie pętelki zaciskającej wychodzące na zewnątrz końce. Ponieważ pierścień ma małą średnicę, łatwo zauważyć że pętelka może się z niego zsunąć (3). Teraz pozostało już tylko ją rozprostować, by rozłączyć oba – no co? – węzły! Jednym z nich jest pierścień, drugi to my trzymający sznurek (4).
Zadanie było łatwe, ale zadajmy je znajomym wplatając nie pierścień, a ucho nożyczek. Naturalnie sznurka nie wolno nimi przecinać. Złożony kształt skutecznie zwodzi wyobraźnię. Tym większe jest zaskoczenie, gdy połączenie uda się rozpleść.  

 

To był, jak się domyślimy, splot trywialny. Zmierzmy się teraz ze splotem Hopfa, ale w nieco atrakcyjniejszej wersji. To zresztą stara łamigłówka logiczna. Warto ją przypomnieć by pokazać, jak zwodniczy bywa stereotypowy ogląd problemu. Pierwszy rzut oka podsuwa przypuszczenie że zadanie jest niewykonalne, a rozwiązanie okazuje się zaskakujące i zabawne.

Wykorzystamy ten sam pierścień, co poprzednio. Ponadto potrzebne będzie 40 cm linki. Ze sztywnej tekturki wycinamy taki kształt jak widoczny obok (1) z dwoma zastrzeżeniami: 1.środkowy otwór musi być dosyć duży ale nie na tyle by mógł się w nim zmieścić pierścień, 2. Przez boczne otworki muszą się dać przewlec końce sznurka.
Zapętlamy w środkowym otworze sznurek tak, jak widać to na zdjęciu (2). Ważne, by „poprzeczka” sznurkowego ucha wypadła z przodu tekturki. Prawą końcówkę przewlekamy  przez mały otworek i zawiązujemy z tyłu duży supeł, by się nie wyśliznęła. Z lewą postępujemy podobnie, ale najpierw nawlekamy na nią pierścień. 

Zadanie brzmi następująco: należy przeprowadzić pierścień z lewej pętli na prawą. Pozwolę Czytelnikom zmierzyć się samodzielnie z tym splotem. Niecierpliwym podpowiem tylko – co jest widoczne zresztą na zdjęciu – że kluczem do rozwiązania jest wyciągnięcie „poprzeczki” na przód dużego otworu (3) przez przewinięcie jej od tyłu (!) tekturki.
To, co w potocznym języku nazywamy węzłem, matematyk zwykle określi jako splot. Zresztą, kto za matematykiem trafi?

 

 Więcej takich, bardzo emocjonujących zaskoczeń, znajdziemy w najnowszej książce z serii „Laboratorium w szufladzie. Matematyka” autorstwa dr. Łukasza Badowskiego i Zasława Adamaszka wydanej przez Wydawnictwo Naukowe PWN.

 

Autor: Zasław Adamaszek